数制与进制转换

概念讲解

常见数制

数制 基数 数码 前缀/后缀
二进制 2 0, 1 0b 或 B
八进制 8 0-7 0 或 O
十进制 10 0-9 无
十六进制 16 0-9, A-F 0x 或 H

进制转换方法

1. 其他进制 → 十进制

方法： 按权展开求和

示例： 10112=1×23+0×22+1×21+1×20=8+0+2+1=111011_2 = 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11

2. 十进制 → 其他进制

方法： 除基取余，逆序排列

示例： 1110=1011211_{10} = 1011_2

11 ÷ 2 = 5 ... 1
 5 ÷ 2 = 2 ... 1
 2 ÷ 2 = 1 ... 0
 1 ÷ 2 = 0 ... 1

3. 二进制 ↔ 八进制

方法： 每 3 位一组

示例： 101102=26810110_2 = 26_8

010 110
 2   6

4. 二进制 ↔ 十六进制

方法： 每 4 位一组

示例： 101102=161610110_2 = 16_{16}

0001 0110
  1    6

考点分析

初赛考查方式

  1. 选择题： 进制转换
  2. 填空题： 转换结果
  3. 程序阅读： 进制相关程序

常见考点

  • 十进制与其他进制互转
  • 二进制与八进制、十六进制互转
  • 进制运算

例题精讲

例题 1：二进制转十进制

题目： 110121101_2 转换为十进制是多少？

解答：

11012=1×23+1×22+0×21+1×20=8+4+0+1=131101_2 = 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13

例题 2：十进制转二进制

题目： 251025_{10} 转换为二进制是多少？

解答：

25 ÷ 2 = 12 ... 1
12 ÷ 2 =  6 ... 0
 6 ÷ 2 =  3 ... 0
 3 ÷ 2 =  1 ... 1
 1 ÷ 2 =  0 ... 1

2510=11001225_{10} = 11001_2

例题 3：十六进制转十进制

题目： 1F161F_{16} 转换为十进制是多少？

解答：

1F16=1×161+15×160=16+15=311F_{16} = 1 \times 16^1 + 15 \times 16^0 = 16 + 15 = 31

练习题

  1. 1010112101011_2 转换为十进制是多少？
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4343

1010112=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20=32+8+2+1=43101011_2 = 1 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 32 + 8 + 2 + 1 = 43

  1. 421042_{10} 转换为二进制是多少？
查看答案

1010102101010_2

42 ÷ 2 = 21 ... 0
21 ÷ 2 = 10 ... 1
10 ÷ 2 =  5 ... 0
 5 ÷ 2 =  2 ... 1
 2 ÷ 2 =  1 ... 0
 1 ÷ 2 =  0 ... 1

逆序排列：1010102101010_2

  1. 2A162A_{16} 转换为十进制是多少？
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4242

2A16=2×161+10×160=32+10=422A_{16} = 2 \times 16^1 + 10 \times 16^0 = 32 + 10 = 42

（A 在十六进制中表示 10）

易错点

⚠️ 注意：

  1. 除基取余要逆序排列
  2. 十六进制 A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15
  3. 分组时不足位补 0
  4. 进制转换是初赛高频考点