简单概率与期望

概念讲解

概率

事件发生的可能性，取值范围 [0, 1]。

古典概型

等可能事件的概率：

P(A)=事件,A,包含的基本事件数总的基本事件数P(A) = \frac{\text{事件},A,\text{包含的基本事件数}}{\text{总的基本事件数}}

条件概率

在 B 发生的条件下，A 发生的概率：

P(A∣B)=P(AB)P(B)P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}

期望

随机变量的平均值：

E(X)=∑xi⋅P(xi)E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)

期望的线性性

E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X + Y) = E(X) + E(Y)

考点分析

初赛考查方式

  1. 选择题： 概率计算
  2. 填空题： 期望计算

常见考点

  • 古典概型
  • 期望计算

例题精讲

例题 1：古典概型

题目： 掷骰子，点数为偶数的概率？

解答：

基本事件：{1,2,3,4,5,6}
偶数：{2,4,6}

P=3/6=1/2P = 3/6 = 1/2

例题 2：期望

题目： 掷骰子，点数的期望？

解答：

E=(1+2+3+4+5+6)/6=3.5E = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5

练习题

  1. 概率的取值范围是什么？
查看答案

[0, 1]

  • 0 表示不可能发生
  • 1 表示一定发生
  • 概率永远不会是负数或大于 1
  1. 期望的线性性是什么？
查看答案

E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X + Y) = E(X) + E(Y)

含义：两个随机变量之和的期望等于它们期望之和。

注意：这个性质不需要 X 和 Y 独立。

  1. 古典概型的条件是什么？
查看答案

古典概型的两个条件：

  1. 有限性：基本事件的总数是有限的
  2. 等可能性：每个基本事件发生的概率相等

公式：P(A)=事件,A,包含的基本事件数总的基本事件数P(A) = \frac{\text{事件},A,\text{包含的基本事件数}}{\text{总的基本事件数}}

易错点

⚠️ 注意：

  1. 概率取值范围是 [0, 1]
  2. 古典概型要求等可能
  3. 期望有线性性
  4. 条件概率要注意分母